Сборник статей и публикаций 2012-2013 гг. Часть 1 - Ф.Д. Шкруднев

Золотое сечение 35 Одним из достижений в этой области является открытие обобщенных чисел Фибоначчи и обобщенных золотых се- чений. Ряд Фибоначчи (1, 1, 2, 3, 5, 8) и открытый им же «двоич- ный» ряд гирь 1, 2, 4, 8 на первый взгляд совершенно разные. Но алгоритмы их построения весьма похожи друг на друга: в первом случае каждое число есть сумма предыдущего числа с самим собой: 2 = 1 + 1; 4 = 2 + 2... во втором — это сумма двух предыдущих чисел: 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, 5 = 3 + 2... Нельзя ли отыскать общую математическую формулу, из которой получаются и «двоичный» ряд, и ряд Фибонач- чи? А может быть, эта формула даст нам новые числовые множества, обладающие какими-то новыми уникальными свойствами? Действительно, зададимся числовым параметром S, ко- торый может принимать любые значения: 0, 1, 2, 3, 4, 5. Рассмотрим числовой ряд, S + 1, первых членов которого — единицы, а каждый из последующих равен сумме двух членов предыдущего и отстоящего от предыдущего на S шагов. Если n-й член этого ряда мы обозначим через ? S (n), то получим об- щую формулу ? S (n) = ? S (n - 1) + ? S (n — S — 1). Очевидно, что при S = 0 из этой формулы мы получим «двоичный» ряд, при S = 1 — ряд Фибоначчи, при S = 2, 3, 4 новые ряды чисел, которые получили название S-чисел Фи- боначчи. В общем виде золотая S-пропорция есть положительный корень уравнения золотого S-сечения x S+1  — x S —1 = 0. Нетрудно показать, что при S = 0 получается деление отрезка пополам, а при S = 1 — знакомое классическое зо- лотое сечение. Отношения соседних S-чисел Фибоначчи с абсолютной математической точностью совпадают в пределе с золотыми S-пропорциями! Математики в таких случаях говорят, что зо-